Mathematik im Haushalt

Was macht man, wenn man ein Glas mit Körner hat, das Gewicht der Körner kennt (450 g), wissen möchte, wieviel davon 15 g sind und keine Küchenwaage zur Hand hat?

Da mir nichts Besseres einfällt, greife ich in die physikalische Trickkiste! 🙂

Man mißt die Höhe der Körner (H) und den Umfang des Glases (U), wobei man die Dicke des Glases (d) ebenfalls berücksichtigt.

\[ U = 2 \pi   ( r + d ) \]

wobei r der Innenradius ist.

Daraus ergibt sich für den Innenradius

\[ r = U / ( 2 \pi ) – d \]

Für das Volumen V eines Zylinders gilt

\[ V = A H \]

mit A als Kreisfläche.

Die Kreisfläche ist

\[ A = \pi r^2 \].

Damit ergibt sich für das Volumen:

\[ V = \pi \left( \frac{U}{2 \pi} – d \right)^2   H \]

Die mittlere Dichte im Glas folgt zu:

\[ \rho = M_1 / V = \frac{M_1}{\pi \left( \frac{U}{2 \pi} – d \right)^2  H } \]

wobei $$M_1 = 450 g$$ die Masse der Körner im Glas ist.

Will man jetzt die gefragte Masse $$M_2$$ ermitteln, so kann man sich ein Schnapsglas nehmen und von Diesem in der Mitte den Umfang messen. Zusätzlich die Dicke des Glases. Man sollte in der Mitte messen, da Schnapsgläser in der Regel etwas konisch geformt sind und man damit in erster Näherung einen Zylinder mit dem mittleren Umfang annehmen kann.

Mit

\[ M_2 = \rho V_2 = \rho A_2 H_2 , \qquad A_2 = Kreisfläche \ des \ Schnapsglases \]

folgt

\[ H_2 = \frac{ M_2 }{ \rho A_2} \]

Füllt man also das Glas bis zu dieser Höhe mit Körnern auf, hat man die gewünschte Menge.